1. Propósito de la unidad
Comprender el concepto de variable aleatoria finita, su clasificación, funciones asociadas y su aplicación en la resolución de problemas de probabilidad. Esta unidad permite modelar situaciones donde los resultados posibles son finitos y discretos, facilitando el análisis estadístico y probabilístico.
2. Conocimientos previos y vocabulario
- Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
- Evento: subconjunto del espacio muestral.
- Probabilidad: medida de la certeza de que ocurra un evento.
- Variable aleatoria: función que asigna un valor numérico a cada resultado del espacio muestral.
- Variable aleatoria discreta: variable que puede tomar un número finito o numerable de valores.
3. Variable aleatoria discreta finita
Una variable aleatoria discreta finita es aquella que puede tomar un número finito de valores. Estos valores pueden ser, por ejemplo, el número de caras al lanzar un dado o el número de éxitos en una serie de ensayos.
Ejemplo: Al lanzar un dado, la variable aleatoria X que representa el número obtenido puede tomar los valores {1, 2, 3, 4, 5, 6}, es decir, X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
4. Función de masa de probabilidad (fmp)
La función de masa de probabilidad asigna a cada valor posible de la variable aleatoria su probabilidad correspondiente. Para una variable aleatoria discreta X, la fmp se denota como P(X = x), y debe cumplir las siguientes propiedades:
0 ≤ P(X = x) ≤ 1 para todo x.Σ P(X = x) = 1 sobre todos los valores posibles de X.
Ejemplo: Si lanzamos un dado justo, la fmp de X es:
P(X = 1) = 1/6
P(X = 2) = 1/6
P(X = 3) = 1/6
P(X = 4) = 1/6
P(X = 5) = 1/6
P(X = 6) = 1/6
5. Función de distribución acumulada (FDA)
La función de distribución acumulada de una variable aleatoria X, denotada por F(x), es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a x:
F(x) = P(X ≤ x)
La FDA es no decreciente y tiene las siguientes propiedades:
F(x) → 0 cuando x → -∞.F(x) → 1 cuando x → +∞.- Es continua por la derecha.
Ejemplo: Usando el ejemplo del dado, la FDA es:
F(1) = P(X ≤ 1) = 1/6
F(2) = P(X ≤ 2) = 2/6
F(3) = P(X ≤ 3) = 3/6
F(4) = P(X ≤ 4) = 4/6
F(5) = P(X ≤ 5) = 5/6
F(6) = P(X ≤ 6) = 6/6 = 1
6. Valor esperado (esperanza matemática)
El valor esperado de una variable aleatoria X es una medida de tendencia central que indica el valor promedio ponderado de los posibles resultados, considerando sus probabilidades:
E[X] = Σ x * P(X = x)
Ejemplo: Para el dado, el valor esperado es:
E[X] = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6)
= 21/6 = 3.5
7. Varianza y desviación estándar
La varianza mide la dispersión de los valores de la variable aleatoria respecto a su valor esperado:
Var(X) = E[X²] - (E[X])²
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
σ = √Var(X)
Ejemplo: Usando el dado, primero calculamos E[X²]:
E[X²] = (1² * 1/6) + (2² * 1/6) + (3² * 1/6) + (4² * 1/6) + (5² * 1/6) + (6² * 1/6)
= 91/6 ≈ 15.17
Luego, calculamos la varianza y desviación estándar:
Var(X) = 15.17 - (3.5)² ≈ 2.92
σ ≈ √2.92 ≈ 1.71
8. Aplicaciones
- Juegos de azar: análisis de probabilidades en juegos como dados, cartas y ruleta.
- Control de calidad: estimación del número de productos defectuosos en una producción.
- Encuestas: modelado de respuestas en encuestas con opciones discretas.
- Finanzas: análisis de riesgos en inversiones con resultados discretos.
