CDA

1. Propósito de la unidad

Comprender y aplicar las relaciones métricas en la circunferencia, enfocándose en ángulos, cuerdas, secantes y tangentes, para resolver problemas geométricos de manera efectiva.

2. Conceptos clave

• Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• Secante: Recta que corta la circunferencia en dos puntos.
• Tangente: Recta que toca la circunferencia en un solo punto.
• Ángulo central: Ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
• Ángulo inscrito: Ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y cuyos lados son cuerdas.
• Ángulo semi-inscrito: Ángulo formado por una tangente y una cuerda.

3. Teoremas fundamentales

Teorema de las cuerdas

Si dos cuerdas AB y CD se cortan en un punto P dentro de la circunferencia, entonces:

PA × PB = PC × PD

Este teorema se utiliza para resolver problemas donde se conocen segmentos de cuerdas que se intersectan.

Teorema de las secantes

Si desde un punto exterior Q se trazan dos secantes QA y QB que cortan la circunferencia en A y B respectivamente, entonces:

QA × QB = QD × QC

Este teorema es útil para encontrar longitudes de segmentos cuando se conocen otros segmentos relacionados.

Teorema de la tangente y la secante

Si desde un punto exterior Q se traza una tangente QT y una secante QA que corta la circunferencia en A, entonces:

QT² = QA × QB

Este teorema permite calcular longitudes de segmentos cuando se conoce la longitud de la tangente y de la secante.

4. Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Aplicación del Teorema de las cuerdas

En una circunferencia, dos cuerdas AB y CD se cortan en el punto P. Si PA = 4 cm, PB = 6 cm, y PC = 3 cm, ¿cuánto mide PD?

Aplicando el teorema de las cuerdas:

PA × PB = PC × PD

4 × 6 = 3 × PD

24 = 3 × PD

PD = 24 / 3 = 8 cm

Ejemplo 2: Aplicación del Teorema de las secantes

Desde un punto exterior Q se trazan dos secantes QA y QB que cortan la circunferencia en A y B respectivamente. Si QA = 5 cm, QB = 7 cm, y QD = 4 cm, ¿cuánto mide QC?

Aplicando el teorema de las secantes:

QA × QB = QD × QC

5 × 7 = 4 × QC

35 = 4 × QC

QC = 35 / 4 = 8.75 cm

Ejemplo 3: Aplicación del Teorema de la tangente y la secante

Desde un punto exterior Q se traza una tangente QT y una secante QA que corta la circunferencia en A. Si QT = 6 cm y QA = 8 cm, ¿cuánto mide QB?

Aplicando el teorema de la tangente y la secante:

QT² = QA × QB

6² = 8 × QB

36 = 8 × QB

QB = 36 / 8 = 4.5 cm

5. Actividades prácticas

1. Construye una circunferencia con centro O y radio 5 cm. Dibuja dos cuerdas AB y CD que se corten en el punto P. Mide los segmentos PA, PB, PC y PD, y verifica la relación PA × PB = PC × PD.
2. Desde un punto exterior Q, traza dos secantes QA y QB que corten la circunferencia en A y B respectivamente. Mide los segmentos QA, QB, QD y QC, y verifica la relación QA × QB = QD × QC.
3. Desde un punto exterior Q, traza una tangente QT y una secante QA que corta la circunferencia en A. Mide los segmentos QT, QA y QB, y verifica la relación QT² = QA × QB.

6. Reflexión final

Comprender y aplicar las relaciones métricas en la circunferencia es fundamental para resolver problemas geométricos complejos. La práctica constante y la resolución de ejercicios te permitirán dominar estos conceptos y desarrollar habilidades analíticas esenciales en matemáticas.

1. Vocabulario clave

• Frecuencia absoluta: número de veces que ocurre un dato.
• Frecuencia relativa: proporción respecto al total.
• Frecuencia acumulada: suma progresiva de frecuencias.
• Espacio muestral (S): conjunto de todos los resultados posibles.
• Evento: subconjunto de S.
• P(A): probabilidad de que ocurra el evento A = casos favorables / casos posibles.
• Eventos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
• Eventos excluyentes: P(A ∪ B)=P(A)+P(B).

2. Tablas de frecuencia

Ejemplo práctico:

• Datos: [manzana, pera, manzana, manzana, pera]
• Frecuencia absoluta: manzana=3, pera=2
• Frecuencia relativa: manzana=3/5=0.6, pera=2/5=0.4
• Frecuencia acumulada: manzana=3, pera=5

Pasos para construirla:

1. Ordenar categorías o intervalos.
2. Contar frecuencia absoluta.
3. Calcular frecuencia relativa y acumulada.

3. Diagramas de caja y bigotes

Serve para ver mediana, cuartiles, rango y posibles valores atípicos.

1. Ordena los datos.
2. Calcula Q1 (25 %), mediana (50 %) y Q3 (75 %).
3. Dibuja la caja entre Q1 y Q3, línea en la mediana.
4. Traza bigotes hasta min y max o hasta 1.5·IQR.

Ejemplo: Datos: 5,7,8,9,12 → Q1=7, mediana=8, Q3=9, IQR=2.

4. Probabilidad

Fórmula: P(A)=número de resultados en A / número de resultados en S.

Eventos independientes: P(A ∩ B)=P(A)·P(B)

Eventos excluyentes: P(A ∪ B)=P(A)+P(B)

Ejemplos de peras y manzanas:

• En una bolsa hay 5 manzanas y 3 peras. P(pear) = 3 / (5+3) = 0.375.
• Si saco dos frutas sin reemplazo, P(man | man): P(primera manzana)=5/8, luego 4/7 → 5/8·4/7 ≈ 0.357 (independientes? no).
• Eventos excluyentes: sacar pera o manzana. P = P(pera)+P(manzana) = 3/8+5/8 =1.

5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Frecuencias

Datos: [2,4,4,6,8,8,8].

• Moda = 8 (más frecuente).
• Frecuencia acumulada hasta 4 = 1+2 = 3.
• Frecuencia relativa de 6 = 1/7 ≈ 0.143.

Ejemplo 2: Box plot

Datos: [1,3,5,7,9]. Ordenados:

• Q1=3, mediana=5, Q3=7 → caja entre 3 y 7.
• Min=1, Max=9 → bigotes hasta 1 y 9.

Ejemplo 3: Probabilidad compuesta

Bolsa: 5 manzanas, 3 peras. Extraigo dos sin reemplazo:

1. P(manzana, luego manzana)=5/8·4/7=20/56≈0.357.
2. P(pera, luego manzana)=3/8·5/7=15/56≈0.268.
3. P(exactamente una pera en dos extracciones)= sumar las combinaciones adecuadas.

6. Métodos paso a paso

Para tablas: contar → calcular relativa/acumulada → resumen.

Para box plot: ordenar → calcular Q1, Q2 y Q3 → marcar caja + bigotes → identificar outliers.

Para probabilidades: definir espacio muestral → identificar eventos → aplicar fórmulas (independientes/excluyentes) → calcular.

7. Conclusión

Dominar tablas de frecuencia, gráficos como box plots y probabilidad (simple y compuesta) te permite interpretar y analizar datos de forma significativa. Estos fundamentos son útiles tanto en pruebas escolares como en situaciones reales de toma de decisiones.

1. Propósito de la unidad

Entender cómo funcionan las funciones exponenciales y logarítmicas, sus propiedades, su relación inversa y cómo aplicarlas en problemas reales.

2. Vocabulario clave

• Base (a): número fijo >0 y ≠1 en f(x)=aˣ o logₐ(x).
• Exponencial: función f(x)=aˣ.
• Logarítmica: función inversa, f(x)=logₐ(x).
• Dominio y rango: dominio exponencial: ℝ; rango: (0,+∞). Dominio logarítmico: (0,+∞); rango: ℝ.
• Asíntota: línea que la gráfica se aproxima pero no toca (ej. y=0 para exponenciales).
• Propiedades: aˣ⁺ʸ=aˣ·aʸ, logₐ(x·y)=logₐx + logₐy.

3. ¿Cómo funcionan? (con peras y manzanas)

Piénsalo como duplicar manzanas: si pongo 2 manzanas hoy y cada día las duplico (base 2), tendré 2ˣ manzanas después de x días. El logaritmo responde: “¿cuántos días necesito para llegar a 8 manzanas?”; la respuesta es log₂(8)=3 porque 2³=8.

4. Procedimientos paso a paso

1. Graficar exponencial: calcular puntos (x, aˣ), identificar asíntota y comportamiento.
2. Graficar logarítmica: calcular puntos (x, logₐx), reflejar exponencial sobre y=x.
3. Despejar en ecuaciones exponenciales: llevar a misma base y comparar exponentes.
4. Ecuaciones mixtas: aplicar logaritmos cuando no hay base común.

5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Crecimiento exponencial de manzanas

Si tienes 2 manzanas y se duplican cada día, ¿cuántas tendrás en 5 días?

Solución: f(x)=2ˣ → f(5)=2⁵=32 manzanas.

Ejemplo 2: Resolver 3ˣ=81

Buscamos x tal que 3ˣ=81. Observa que 81=3⁴, entonces x=4.

Si no es evidente: aplicando logaritmo: x·log3=log81 → x=log81/log3=4.

Ejemplo 3: ¿Cuántos días para tener 100 manzanas duplicando?

Si duplicas manzanas cada día: 2ˣ=100 → x=log₂(100)=log10(100)/log10(2)=2/0.301≈6.64 días.

Ejemplo 4: Modelar interés compuesto

Invertí $100 a 5% anual: A=100·1.05ˣ. ¿Cuánto tendré en 10 años? A=100·1.05¹⁰≈162.9.

6. Propiedades útiles

• a⁰=1; aˣ>0 siempre.
• logₐ(1)=0, logₐ(a)=1.
• logₐ(x·y)=logₐx + logₐy.
• logₐ(xʸ)=y·logₐx.
• Cambio de base: log_b(x)=log_c(x)/log_c(b).

7. Ejercicios prácticos

1. Grafica f(x)=2ˣ y g(x)=log₂(x); compara dominio, rango y puntos clave.
2. Resuelve 5ˣ=125; 2ˣ=20; 10ˣ=0.01.
3. Despeja x en 3·2ˣ=48 → 2ˣ=16 → x=4.
4. Resuelve x·log(3)=2 → x=2/log3≈1.82.

8. Conclusión

Las funciones exponenciales muestran cómo algo crece a un ritmo proporcional a su tamaño (duplicar manzanas, interés bancario). La función logarítmica responde la pregunta inversa: ¿cuánto tiempo o cuántos pasos? Con práctica y visualización puedes dominar esta unidad y aplicarla con seguridad.

1. Conceptos y vocabulario clave

• Número complejo: z = a + bi, donde a = parte real, b = parte imaginaria, e i² = –1.
• Plano complejo (Argand): eje horizontal = parte real, eje vertical = parte imaginaria.
• Módulo: |z| = √(a² + b²), distancia al origen.
• Conjugado: \(\bar z = a – bi\), simétrico respecto al eje real.
• Forma binómica, polar y exponencial: z = a+bi, z = r(cosφ + i sinφ), z = r e^{iφ}.

2. Representación geométrica

Imagínate que llevas una pera al eje horizontal (parte real) y una manzana al eje vertical (parte imaginaria), esas frutas definen el punto (a, b). Ese punto es el número complejo z = a + bi.

• La distancia desde el origen al punto es el módulo (√(a² + b²)).
• Si cambias la manzana por su opuesta (–b), obtienes el conjugado \(\bar z\) reflejado respecto al eje real.

3. Operatoria con números complejos

• Suma/resta: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i → como sumar coordenadas.
• Multiplicación: (a+bi)(c+di) = (ac–bd) + (ad+bc)i.
• División: \(\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c–di)}{c²+d²}\).

Puedes pensar en sumar coordenadas como juntar peras y manzanas; multiplicar es un poco más “receta” combinando los sabores para producir uno nuevo.

4. Solución de ecuaciones polinómicas

Para ecuaciones como x² + 1 = 0 → x² = –1 → x = ±i.

Hasta grado 4: resuelves con técnicas conocidas (factoreo, fórmula general), y si aparecen raíces negativas, aparecen soluciones complejas.

5. Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Representación y módulo

Sea z = 3 + 4i:

• Paso 1: ubica (3,4) en el plano.
• Paso 2: módulo = √(3² + 4²) = 5.

Ejemplo 2: Suma y resta

Sea z₁ = 2 + 3i y z₂ = –1 + 4i:

• Suma: z₁ + z₂ = (2–1) + (3+4)i = 1 + 7i.
• Resta: z₁ – z₂ = (2+1) + (3–4)i = 3 – i.

Ejemplo 3: Multiplicación y división

z₁ = 1 + i, z₂ = 2 – i:

• Multiplicación: (1·2 – 1·(–1)) + (1·(–1) + 1·2)i = (2 +1) + (–1+2)i = 3 + i.
• División: (z₁ / z₂) → multiplica por conjugado: Numerador = (1+i)(2+i) = 2 + i + 2i + i² = (2–1) + 3i =1+3i Denominador = 2² + (–1)² = 5 Resultado = (1/5) + (3/5)i.

6. Procedimientos paso a paso

1. Para sumar/restar: suma cada parte por separado (real con real, imaginaria con imaginaria).
2. Para multiplicar: usa la fórmula (a+bi)(c+di) y simplifica i² = –1.
3. Para dividir: multiplica numerador y denominador por el conjugado del divisor y simplifica.
4. Para hallar el módulo: aplica √(a² + b²).
5. Para hallar el argumento φ: usa φ = arctan(b / a), ajustando el cuadrante.

7. Significado geométrico

• Sumar = mover vectores en el plano.
• Multiplicar = rotación + escala: módulo se multiplica y ángulo se suma.
• Conjugado = reflejar el vector sobre el eje real.

8. Actividades sugeridas

• Dibuja z₁= –2+2i, z₂=1–3i; representa y calcula z₁+z₂ y z₁·z₂.
• Resuelve x² + 4 = 0 → x = ±2i.
• Divide (3+2i) entre (1–i): aplica el conjugado como procedimiento.

9. Conclusión

Has aprendido a identificar, graficar y operar con números complejos, resolver ecuaciones que tienen raíces no reales y entender el sentido geométrico de cada operación. Esto te da herramientas para avanzar en temas más complejos como formas polares o aplicaciones en física e ingeniería.