CDA

1. Propósito de la unidad

Comprender y aplicar las relaciones métricas fundamentales de la circunferencia, incluyendo ángulos centrales, inscritos, interiores, exteriores, así como potencias de un punto, cuerdas, secantes y tangentes. El objetivo es dominar el cálculo geométrico preciso para resolver problemas complejos de geometría euclidiana.

2. ¿Qué es una circunferencia y qué son sus relaciones métricas?

• Circunferencia: conjunto de todos los puntos que están a igual distancia (radio) de un centro.
• Relaciones métricas: ecuaciones que vinculan cuerdas, diámetros, radios, secantes y tangentes.
• Ángulos asociados: central, inscrito, semi–inscrito, interior, exterior.

3. Ángulos de la circunferencia (los esenciales)

Ángulo central: su vértice está en el centro y su medida es igual al arco que intercepta.

• m(ángulo central) = m(arco)

Ángulo inscrito: su vértice está en la circunferencia y abre hacia el centro.

• m(ángulo inscrito) = ½ · m(arco)

Ángulo semi–inscrito o tangente–cuerda: vértice en la circunferencia pero formado entre una cuerda y una tangente.

• m = ½ · m(arco opuesto)

Ángulo interior (dos cuerdas que se cruzan dentro):

• m = ½ · (arco1 + arco2)

Ángulo exterior (formado por secantes o tangentes):

• m = ½ · (arco mayor – arco menor)

Con estas cinco fórmulas, calculas cualquier ángulo en cualquier configuración.

4. Relaciones métricas fundamentales

1. Relación de cuerdas: si dos cuerdas se cruzan dentro de la circunferencia:
   (PA)·(PB) = (PC)·(PD)
2. Relación de secantes: si desde un punto exterior salen dos secantes:
   (externo)·(toda la secante) = (externo)·(toda la otra secante)
3. Relación tangente–secante:
   (tangente)² = externo · toda la secante
4. Potencia de un punto:
   Es el valor constante generado por todas las líneas desde un punto hacia la circunferencia, y coincide con:
   cuerdas = secantes = tangente²

5. Cómo afectan estas relaciones al cálculo de ángulos

• Ángulos inscritos: siempre son la mitad del arco → permiten reconstruir arcos desconocidos.
• Ángulos interiores: mezclan arcos opuestos → útil para problemas con cuerdas cruzadas.
• Ángulos exteriores: permiten calcular arcos mayores restando arcos menores.
• Ángulos tangente–cuerda: funcionan igual que un inscrito → la tangente actúa como “línea infinita”.

6. Fórmulas clave obligatorias (las escribes 1 vez y memorizas)

• Ángulo central: θ = arco
• Ángulo inscrito: θ = ½ arco
• Ángulo interior: θ = ½ (arco opuesto 1 + arco opuesto 2)
• Ángulo exterior: θ = ½ (arco mayor – arco menor)
• Ángulo tangente–cuerda: θ = ½ arco opuesto
• Cuerdas que se cruzan: PA·PB = PC·PD
• Secantes desde un punto: externo·toda = externo·toda
• Tangente: (tangente)² = externo · toda secante

7. Estructura típica para resolver problemas

• 1. Identificar el tipo de ángulo: central, inscrito, interior, exterior, tangente–cuerda.
• 2. Dibujar los arcos relacionados: cada fórmula usa arcos específicos.
• 3. Usar la fórmula correcta: las cinco fórmulas cubren todo.
• 4. Reemplazar datos y despejar: es puro algebra + observación.
• 5. Verificar que el arco o ángulo tenga sentido (0–360°): evita errores de cálculo.

8. Ejemplo práctico (simple, directo y útil)

Ejemplo: Un ángulo inscrito mide 35°. ¿Cuánto mide el arco correspondiente?

Ángulo inscrito = ½ arco

• 35° = ½ arco
• arco = 35° × 2
• arco = 70°

Ejemplo interior: dos cuerdas se cruzan y los arcos opuestos miden 80° y 150°.

• θ = ½ (80 + 150)
• θ = ½ (230)
• θ = 115°

Ejemplo exterior: secantes que interceptan arcos 200° y 140°.

• θ = ½ (200 – 140) = ½ (60)
• θ = 30°

9. Conclusión

Las relaciones métricas y los ángulos asociados a la circunferencia forman un sistema geométrico sólido y predecible. Dominando las cinco fórmulas de ángulos y las relaciones de cuerdas, secantes y tangentes, puedes resolver cualquier ejercicio de geometría circular con precisión. Todo problema, por complejo que parezca, se reduce a identificar correctamente el tipo de ángulo y aplicar la relación correspondiente.

1. Vocabulario clave

• Frecuencia absoluta: número de veces que ocurre un dato.
• Frecuencia relativa: proporción respecto al total.
• Frecuencia acumulada: suma progresiva de frecuencias.
• Espacio muestral (S): conjunto de todos los resultados posibles.
• Evento: subconjunto de S.
• P(A): probabilidad de que ocurra el evento A = casos favorables / casos posibles.
• Eventos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
• Eventos excluyentes: P(A ∪ B)=P(A)+P(B).

2. Tablas de frecuencia

Ejemplo práctico:

• Datos: [manzana, pera, manzana, manzana, pera]
• Frecuencia absoluta: manzana=3, pera=2
• Frecuencia relativa: manzana=3/5=0.6, pera=2/5=0.4
• Frecuencia acumulada: manzana=3, pera=5

Pasos para construirla:

1. Ordenar categorías o intervalos.
2. Contar frecuencia absoluta.
3. Calcular frecuencia relativa y acumulada.

3. Diagramas de caja y bigotes

Serve para ver mediana, cuartiles, rango y posibles valores atípicos.

1. Ordena los datos.
2. Calcula Q1 (25 %), mediana (50 %) y Q3 (75 %).
3. Dibuja la caja entre Q1 y Q3, línea en la mediana.
4. Traza bigotes hasta min y max o hasta 1.5·IQR.

Ejemplo: Datos: 5,7,8,9,12 → Q1=7, mediana=8, Q3=9, IQR=2.

4. Probabilidad

Fórmula: P(A)=número de resultados en A / número de resultados en S.

Eventos independientes: P(A ∩ B)=P(A)·P(B)

Eventos excluyentes: P(A ∪ B)=P(A)+P(B)

Ejemplos de peras y manzanas:

• En una bolsa hay 5 manzanas y 3 peras. P(pear) = 3 / (5+3) = 0.375.
• Si saco dos frutas sin reemplazo, P(man | man): P(primera manzana)=5/8, luego 4/7 → 5/8·4/7 ≈ 0.357 (independientes? no).
• Eventos excluyentes: sacar pera o manzana. P = P(pera)+P(manzana) = 3/8+5/8 =1.

5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Frecuencias

Datos: [2,4,4,6,8,8,8].

• Moda = 8 (más frecuente).
• Frecuencia acumulada hasta 4 = 1+2 = 3.
• Frecuencia relativa de 6 = 1/7 ≈ 0.143.

Ejemplo 2: Box plot

Datos: [1,3,5,7,9]. Ordenados:

• Q1=3, mediana=5, Q3=7 → caja entre 3 y 7.
• Min=1, Max=9 → bigotes hasta 1 y 9.

Ejemplo 3: Probabilidad compuesta

Bolsa: 5 manzanas, 3 peras. Extraigo dos sin reemplazo:

1. P(manzana, luego manzana)=5/8·4/7=20/56≈0.357.
2. P(pera, luego manzana)=3/8·5/7=15/56≈0.268.
3. P(exactamente una pera en dos extracciones)= sumar las combinaciones adecuadas.

6. Métodos paso a paso

Para tablas: contar → calcular relativa/acumulada → resumen.

Para box plot: ordenar → calcular Q1, Q2 y Q3 → marcar caja + bigotes → identificar outliers.

Para probabilidades: definir espacio muestral → identificar eventos → aplicar fórmulas (independientes/excluyentes) → calcular.

7. Conclusión

Dominar tablas de frecuencia, gráficos como box plots y probabilidad (simple y compuesta) te permite interpretar y analizar datos de forma significativa. Estos fundamentos son útiles tanto en pruebas escolares como en situaciones reales de toma de decisiones.

1. Propósito de la unidad

Entender cómo funcionan las funciones exponenciales y logarítmicas, sus propiedades, su relación inversa y cómo aplicarlas en problemas reales.

2. Vocabulario clave

• Base (a): número fijo >0 y ≠1 en f(x)=aˣ o logₐ(x).
• Exponencial: función f(x)=aˣ.
• Logarítmica: función inversa, f(x)=logₐ(x).
• Dominio y rango: dominio exponencial: ℝ; rango: (0,+∞). Dominio logarítmico: (0,+∞); rango: ℝ.
• Asíntota: línea que la gráfica se aproxima pero no toca (ej. y=0 para exponenciales).
• Propiedades: aˣ⁺ʸ=aˣ·aʸ, logₐ(x·y)=logₐx + logₐy.

3. ¿Cómo funcionan? (con peras y manzanas)

Piénsalo como duplicar manzanas: si pongo 2 manzanas hoy y cada día las duplico (base 2), tendré 2ˣ manzanas después de x días. El logaritmo responde: “¿cuántos días necesito para llegar a 8 manzanas?”; la respuesta es log₂(8)=3 porque 2³=8.

4. Procedimientos paso a paso

1. Graficar exponencial: calcular puntos (x, aˣ), identificar asíntota y comportamiento.
2. Graficar logarítmica: calcular puntos (x, logₐx), reflejar exponencial sobre y=x.
3. Despejar en ecuaciones exponenciales: llevar a misma base y comparar exponentes.
4. Ecuaciones mixtas: aplicar logaritmos cuando no hay base común.

5. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Crecimiento exponencial de manzanas

Si tienes 2 manzanas y se duplican cada día, ¿cuántas tendrás en 5 días?

Solución: f(x)=2ˣ → f(5)=2⁵=32 manzanas.

Ejemplo 2: Resolver 3ˣ=81

Buscamos x tal que 3ˣ=81. Observa que 81=3⁴, entonces x=4.

Si no es evidente: aplicando logaritmo: x·log3=log81 → x=log81/log3=4.

Ejemplo 3: ¿Cuántos días para tener 100 manzanas duplicando?

Si duplicas manzanas cada día: 2ˣ=100 → x=log₂(100)=log10(100)/log10(2)=2/0.301≈6.64 días.

Ejemplo 4: Modelar interés compuesto

Invertí $100 a 5% anual: A=100·1.05ˣ. ¿Cuánto tendré en 10 años? A=100·1.05¹⁰≈162.9.

6. Propiedades útiles

• a⁰=1; aˣ>0 siempre.
• logₐ(1)=0, logₐ(a)=1.
• logₐ(x·y)=logₐx + logₐy.
• logₐ(xʸ)=y·logₐx.
• Cambio de base: log_b(x)=log_c(x)/log_c(b).

7. Ejercicios prácticos

1. Grafica f(x)=2ˣ y g(x)=log₂(x); compara dominio, rango y puntos clave.
2. Resuelve 5ˣ=125; 2ˣ=20; 10ˣ=0.01.
3. Despeja x en 3·2ˣ=48 → 2ˣ=16 → x=4.
4. Resuelve x·log(3)=2 → x=2/log3≈1.82.

8. Conclusión

Las funciones exponenciales muestran cómo algo crece a un ritmo proporcional a su tamaño (duplicar manzanas, interés bancario). La función logarítmica responde la pregunta inversa: ¿cuánto tiempo o cuántos pasos? Con práctica y visualización puedes dominar esta unidad y aplicarla con seguridad.

1. Conceptos y vocabulario clave

• Número complejo: z = a + bi, donde a = parte real, b = parte imaginaria, e i² = –1.
• Plano complejo (Argand): eje horizontal = parte real, eje vertical = parte imaginaria.
• Módulo: |z| = √(a² + b²), distancia al origen.
• Conjugado: \(\bar z = a – bi\), simétrico respecto al eje real.
• Forma binómica, polar y exponencial: z = a+bi, z = r(cosφ + i sinφ), z = r e^{iφ}.

2. Representación geométrica

Imagínate que llevas una pera al eje horizontal (parte real) y una manzana al eje vertical (parte imaginaria), esas frutas definen el punto (a, b). Ese punto es el número complejo z = a + bi.

• La distancia desde el origen al punto es el módulo (√(a² + b²)).
• Si cambias la manzana por su opuesta (–b), obtienes el conjugado \(\bar z\) reflejado respecto al eje real.

3. Operatoria con números complejos

• Suma/resta: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i → como sumar coordenadas.
• Multiplicación: (a+bi)(c+di) = (ac–bd) + (ad+bc)i.
• División: \(\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c–di)}{c²+d²}\).

Puedes pensar en sumar coordenadas como juntar peras y manzanas; multiplicar es un poco más “receta” combinando los sabores para producir uno nuevo.

4. Solución de ecuaciones polinómicas

Para ecuaciones como x² + 1 = 0 → x² = –1 → x = ±i.

Hasta grado 4: resuelves con técnicas conocidas (factoreo, fórmula general), y si aparecen raíces negativas, aparecen soluciones complejas.

5. Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Representación y módulo

Sea z = 3 + 4i:

• Paso 1: ubica (3,4) en el plano.
• Paso 2: módulo = √(3² + 4²) = 5.

Ejemplo 2: Suma y resta

Sea z₁ = 2 + 3i y z₂ = –1 + 4i:

• Suma: z₁ + z₂ = (2–1) + (3+4)i = 1 + 7i.
• Resta: z₁ – z₂ = (2+1) + (3–4)i = 3 – i.

Ejemplo 3: Multiplicación y división

z₁ = 1 + i, z₂ = 2 – i:

• Multiplicación: (1·2 – 1·(–1)) + (1·(–1) + 1·2)i = (2 +1) + (–1+2)i = 3 + i.
• División: (z₁ / z₂) → multiplica por conjugado: Numerador = (1+i)(2+i) = 2 + i + 2i + i² = (2–1) + 3i =1+3i Denominador = 2² + (–1)² = 5 Resultado = (1/5) + (3/5)i.

6. Procedimientos paso a paso

1. Para sumar/restar: suma cada parte por separado (real con real, imaginaria con imaginaria).
2. Para multiplicar: usa la fórmula (a+bi)(c+di) y simplifica i² = –1.
3. Para dividir: multiplica numerador y denominador por el conjugado del divisor y simplifica.
4. Para hallar el módulo: aplica √(a² + b²).
5. Para hallar el argumento φ: usa φ = arctan(b / a), ajustando el cuadrante.

7. Significado geométrico

• Sumar = mover vectores en el plano.
• Multiplicar = rotación + escala: módulo se multiplica y ángulo se suma.
• Conjugado = reflejar el vector sobre el eje real.

8. Actividades sugeridas

• Dibuja z₁= –2+2i, z₂=1–3i; representa y calcula z₁+z₂ y z₁·z₂.
• Resuelve x² + 4 = 0 → x = ±2i.
• Divide (3+2i) entre (1–i): aplica el conjugado como procedimiento.

9. Conclusión

Has aprendido a identificar, graficar y operar con números complejos, resolver ecuaciones que tienen raíces no reales y entender el sentido geométrico de cada operación. Esto te da herramientas para avanzar en temas más complejos como formas polares o aplicaciones en física e ingeniería.